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grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes

Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes

In einem Würfel der Kantenlänge $L$ mit leitfähigen Wänden sei elektromagnetische Strahlung im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur $T$. Die Strahlung aus einer kleinen Öffnung wird dann die perfekte Strahlung eine idealen Strahlers (Schwarzen Körpers) sein. Wir berechnen zuerst die spektrale Energiedichte $U_\lambda$ im Inneren (des 'Hohlraums') und dann daraus die spektrale Strahlungsdichte der emittierten Strahlung, folgend den grundlegenden Erkenntnissen von Max Planck [Planck 1900].

An den Wänden muss die Parallelkomponente des elektrischen Feldes und die Normalkomponente des magnetischen Feldes verschwinden. Die Felder sind daher Überlagerungen periodischer Funktionen. Die drei Wellenlängenkomponenten $\lambda_1, \lambda_2,$ und $\lambda_3 $ orthogonal zu den Wänden können also sein: ${\displaystyle \lambda_i = \frac{2L}{n_i}, }$ wo die $n_i$ positive ganze Zahlen sind. Für jedes $n_i$ gibt es zwei unabhängige Lösungen (Moden der Polarisation).

Jetzt gehen wir von der schon erwähnten 'Quantenannahme' aus, danach ist die Energie eines Photons zur Frequenz f gegeben durch

${\displaystyle \varepsilon=hf=\frac{hc}{\lambda}}$

sind die Energieniveaus im Würfel sind daher gegeben durch:

$E_{n_1,n_2,n_3}\left(r\right)=\left(r+\frac{1}{2}\right)\frac{hc}{2L}\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}. $        [P1]

Die Quantenanzahl $r$ lässt sich als die Zahl der Photonen zu diesem Zustandsmodus interpretieren. Die beiden Moden jedes $n_i$ korrespondieren zu den beiden Polarisationsrichtungen des Photons (die zwei Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Auch für $r= 0$ ist die Energie des Schwingungsmodus nicht Null3).. Nun berechnen wir zunächst die Innere Energie im Würfel bei der absoluten Temperatur $T$.

Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gleichgewicht für die Energieniveaus proportional zu:

${ \displaystyle P_r =\frac{e^{-\frac{E(r)}{kT}} } {Z(\beta)} }$

gegeben. Dabei ist ${\displaystyle \beta := \frac{1}{kT} }.$

mit der schon bekannten Bolzmann-Konstante $k$.

Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1).

${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .} }$

Wo wir als Abkürzung $\varepsilon\ := \frac{hc}{2L} \sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}},$ eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir andernorts erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:

${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}.}$

Diese Formel (abgesehen vom Vakuumenergie-Term) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bose–Einstein Verteilung.

Relativ zum Grundzustand ergibt sich die Gesamtenergie im Würfel durch die Summe $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ über alle Einzel-Photonenzustände. Im thermodynamischen Grenzwert mit $L$ sehr groß wird $ε$ stetig und wir können dann $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ integrieren. Dazu müssen wir die Zahl der Photonenzustände zu gegebenen Energiezuständen bestimmen. Wenn wir die Photonenzustände zwischen $ε$ und $ε$ + d$ε$ als $g(ε)dε$ schreiben, wo $g(ε)$ die Dichte der dieser Photonenzustände ist (siehe unten), dann können wir schreiben:

${\displaystyle E = \int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}g(\varepsilon)\,d\varepsilon. }$        [P2]

Um nun die Dichte der Zustände zu bestimmen schreiben wir Gleichung [P1] wie folgt:

${\displaystyle \varepsilon\ := \frac{hc}{2L}n, }$

wo $n$ die Länge des Vektors $\overrightarrow{n} = (n_1, n_2, n_3)$ ist:

$n = \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}.$

Für jeden Vector $\overrightarrow{n}$ mit ganzzahligen Komponenten größer gleich Null gibt es zwei Photonenzustände. Daher ist die Zahl der Zustände in einer gegebenen Region des $\overrightarrow{n}$-Raumes gleich dem doppelten Volumen dieser Region. Das Energieintervall d$ε$ korrespondiert zur Kugelschale mit der Dicke d$n=\frac{2L}{hc} $d$ε$. Weil die Komponenten von $\overrightarrow{n}$ positiv sind, erstreckt sich die Schale über einen Oktanten einer Kugel. Die mögliche Zahl der Photonenzustände ist daher:

${\displaystyle g(\varepsilon)\,d\varepsilon=2\frac{1}{8}4\pi n^{2}\,dn = \frac{8\pi L^3}{h^3 c^3} \varepsilon^{2} \, d\varepsilon.}$

Setzen wir das in Gleichung [P2] ein, so ergibt sich:

${\displaystyle E =L^3 \frac{8\pi}{h^3 c^3}\int_0^\infty \frac{\varepsilon^3}{e^{\beta\varepsilon}-1}\,d\varepsilon. }$       [P3]

Hieraus können wir die spektrale Energiedichte sowohl als Funktion der Frequenz $f$ als auch als Funktion der Wellenlängen wie folgt ablesen:

$e_f(T)$ sowie $e_λ(T)$:

${ \displaystyle \frac{E}{L^3} = \int_0^\infty e_f(T)\, df,}$

sowie

${ \displaystyle e_f(T) = {8\pi hf^3\over c^3}{1\over e^{\frac{hf}{kT}} - 1}.}$

Und:

${ \displaystyle \frac{E}{L^3} = \int_0^\infty e_\lambda(T)\, d\lambda,}$

wo

${ \displaystyle e_\lambda(T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT} - 1}.}$

Dies ist nun bereits die spektrale Energiedichte der Wärmestrahlung im Hohlraum (Würfel) je Einheit der Wellenlänge.

Hier ist eine geschlossen Integration durch die Substitution

${ \displaystyle \varepsilon = kTx,}$

in Gleichung [P3] möglich, denn das macht die Integrationsvariable dimensionslos:

${ \displaystyle e_{rad}(T) =\frac{8\pi (kT)^{4}}{(hc)^{3}} J,}$

Mit $J$ als einem Bose–Einstein-Integral definiert durch:

${ \displaystyle J=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^x - 1}\,dx = \frac{\pi^{4}}{15}.}$

Die gesamte elektromagnetische Energie im Würfel ist daher:

${ \displaystyle \frac{E}{V} = \frac{8\pi^5(kT)^4}{15 (hc)^3},}$

wo $V= L^3$ das Volumen des Würfels ist. Hier haben wir bereits das $T^4$ Gesetz für die Temperaturabhängigkeit der Gesamtstrahlung für die Dichte der inneren Energie.

Das ist noch nicht das Stefan–Boltzmann'sche Gesetz (das die ausgestrahlte Energie je Flächen- und Zeiteinheit angibt), mit der Stefan–Boltzmann-Konstante $\sigma$ können wir die Energiedichte aber schreiben als

${\displaystyle \frac{E}{V} = \frac{4 \sigma T^4}{c}.}$

Weil die Strahlung in alle Raumrichtungen gleich ist und sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, kann damit die spektrale Intensität der Wärmstrahlung, die durch eine kleine Öffnung austritt, geschrieben werden als

${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{e_f(T) c}{4 \pi} ,}$

womit wir erhalten

${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/kT}-1}.}$

das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ f=\frac {c}{\lambda} }$ verwandelt werden, wobei ${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$

(Die Ableitung basiert auf [Brehm/Mullin|1989] und Wikipedia-Artikel darüber in englischer Sprache, wobei wir jedoch hier unsere eingeführten Variablenbezeichnungen verwenden. Wir haben das hier aus folgenden Gründen übernommen: 1) Die Herleitung ist vollständig. 2) Sie ist gut verständlich und lässt es zu, die entscheidenden Gedankengänge zu betonen. 3) Leider gibt es bisher keine Übersetzung in der deutschen Wikipedia. 4) Leider kommt es immer wieder vor, dass sich die Bezugsadressen von tiefen Links in Wikipedia verschieben, so dass ein Verweis dann ins „Leere“ führt. 5) Der Herleitung hier erlaubt es uns, diese mit weiteren Erläuterungen (insb. Grafiken) zu ergänzen. Verweise und weiterführende Bemerkungen haben wir teilweise entfernt, um den Blick auf das Wesentliche nicht hzu verstellen).

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Literatur

Brehm, J. J.; Mullin, W. J. (1989). Introduction to the Structure of Matter. Wiley. ISBN 978-0-471-60531-7.

Planck, M. (1900). „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum“. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 237–245.



Der Ausdruck $\frac {hc}{k}$ hat den Wert 14387,770 μm·K.

3)
Diese „Vakuumenergie“ des elektromagnetischen Feldes bewirkt einen Teil des sog Casimir-Effektes.
grundlagen/herleitung_des_strahlungsgesetzes.txt · Zuletzt geändert: 2022/11/24 21:46 von wfeist