Wir betrachten nur eine Ortsdimension, die Höhe: Und messen diese mit der z Achse nach oben zunehmend. $z=0$ nehmen wir „am Boden“ an. Die Masse $m$ befinde sich zu Anfang auf der Höhe $z_0$, von wo wir sie frei fallen lassen.

Ist sie auf einer Höhe $z$ angekommen, so besitzt sie bereits eine Geschwindigkeit $v$.

Wir betrachten ein kleines Zeitintervall $\textrm d t$. Da die Masse durch die Erdanziehung beschleunigt (Beschleunigung $a=-mg \;$ mit der Erdbeschleunigung g) wird, nimmt die Geschwindigkeit $v\;$ innerhalb eines solchen Intervalls um

$\textrm d v = a \, \textrm d t$

zu²⁸⁾. Multiplizieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten mit $\; mv \;$, also dem Impuls, so erhalten wir

$mv \, \textrm d v = mv(a \, \textrm d t) = ma(v\, \textrm d t) =ma\, \textrm d z$ [1]

Erst jetzt bringen wir die Physik, genauer das Newtonsche Kraftgesetz ins Spiel: Die äußere Kraft, die kennen wir nämlich in unserem Fall, sie ist $\; F=-mg \;$ und das ist gleich $\; ma$:

$mv\, \textrm d v = -mg\, \textrm d z$ [2]

Den Term $\; mg\, \textrm d z \;$ kennen wir schon: Das ist nämlich gerade die Änderung der potentiellen Energie der Masse im Gravitationsfeld²⁹⁾.

$\textrm d (E_{pot})=\textrm d (mgz) $ [3]

Der linke Term der Gleichung [2] enthält ausschließlich die Masse und die Geschwindigkeit: Er kennzeichnet den Bewegungszustand. Und dieser Term nimmt immer um genau den Betrag zu, wie die potentielle Energie der Masse abnimmt. Es ist daher schlüssig, diesen Term als Zunahme der mit dem Bewegungszustand verbundenen Energie zu verstehen: Eben als Bewegungsenergie oder kinetische Energie:

$\textrm d E_{kin}=mv\, \textrm d v$ [4]

Mit [3] und [4] stellt sich dann [2] so dar:

$\textrm d E_{kin}=-\textrm d E_{pot}$ [5]

oder

$\textrm d E_{kin} + \, \textrm d E_{pot}=0$ [6]

Die Summe aus Veränderungen der potentiellen und kinetischen Energie in diesem Umwandlungsvorgang ist Null; und weil das für alle sich aufsummierenden Veränderungen gilt, gilt für die jeweilige summierte Größe, dass diese sich nicht ändert:

[7]
der Energie(erhaltungs)satz der Mechanik in seiner einfachsten Form.

Diese Erklärung ist leicht auf alle drei Dimensionen und auch auf Systeme von Massenpunkten erweiterbar. Auch gilt dies nicht allein für Gravitationskräfte, sondern recht allgemein für alle solche Kraftwirkungen, die, wie der Physiker sagt, „konservativ“ sind, also eine Charakterisierung durch ein skalares potentielles Energiefeld erlauben.

Ergänzung: Wer mit ein wenig Mathematik vertraut ist, hat wohl bereits erkannt, dass der rechte Term in [4] das Differential der Größe $\frac{1}{2}mv^2$ ist:

$\textrm d E_{kin}=mv \, \textrm d v \, =\, \textrm d \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$ [8]

Wir haben also den mathematischen Ausdruck für die physikalische Größe „kinetische Energie“ bei dieser Darstellung zugleich mit gefunden.