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--- grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:00] – wfeist
+++ grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:43] (aktuell) – wfeist
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 Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1). \\
-${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .} }$
+${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textstyle{[Z-Summe]} }$
 Wo wir als Abkürzung
 $\varepsilon\ := \frac{hc}{2L} \sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}},$
-eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir andernorts erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:\\
+eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir im nächstfolgenden Kasten erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:\\
 ${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}.}$
 Diese Formel (abgesehen vom Vakuumenergie-Term) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bose–Einstein Verteilung.
+<WRAP box lo>
+Beweis des Zusammenhangs für die mittlere Energie:  Die mittlere Energie ist gerade die Summe über alle Energiewerte jeweils multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten\\ \\
+${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle= \frac {\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}{\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}}  }$\\ \\
+Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\ \\
+${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\
+und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.\\ \\
+Die Ableitung können wir aber andererseits unmittelbar aus dem expliziten Ergebnis für die Zustandssumme nach [Z-Summe] ausrechnen und erhalten daraus das aufgeführte Ergebnis.
+</WRAP>
 Relativ zum Grundzustand ergibt sich die Gesamtenergie im Würfel durch die Summe $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ über alle Einzel-Photonenzustände. Im thermodynamischen Grenzwert mit $L$ sehr groß wird $ε$ stetig und wir können dann   $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ integrieren. Dazu müssen wir die Zahl der Photonenzustände zu gegebenen Energiezuständen bestimmen. Wenn wir die Photonenzustände zwischen $ε$ und $ε$ + d$ε$ als $g(ε)dε$ schreiben, wo $g(ε)$ die Dichte der dieser Photonenzustände ist (siehe unten), dann können wir schreiben:\\
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 ${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/kT}-1}.}$
-das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ f=\frac {c}{\lambda} }$ verwandelt werden, wobei
+das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ \displaystyle { f=\frac {c}{\lambda} }}$ umgewandelt werden, wobei
 ${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$
-(Die Ableitung basiert auf [Brehm/Mullin|1989] und Wikipedia-Artikel darüber in englischer Sprache, wobei wir jedoch hier unsere eingeführten Variablenbezeichnungen verwenden. Wir haben das hier aus folgenden Gründen übernommen: 1) Die Herleitung ist vollständig. 2) Sie ist gut verständlich und lässt es zu, die entscheidenden Gedankengänge zu betonen. 3) Leider gibt es bisher keine Übersetzung in der deutschen Wikipedia. 4) Leider kommt es immer wieder vor, dass sich die Bezugsadressen von tiefen Links in Wikipedia verschieben, so dass ein Verweis dann ins "Leere" führt. 5) Der Herleitung hier erlaubt es uns, diese mit weiteren Erläuterungen (insb. Grafiken) zu ergänzen. Verweise und weiterführende Bemerkungen haben wir teilweise entfernt, um den Blick auf das Wesentliche nicht hzu verstellen). \\
+<WRAP box lo>Die Ableitung basiert auf [Brehm/Mullin|1989] und Wikipedia-Artikel darüber in englischer Sprache, wobei wir jedoch hier unsere eingeführten Variablenbezeichnungen verwenden. Wir haben das hier aus folgenden Gründen übernommen: 1) Die Herleitung ist vollständig. 2) Sie ist gut verständlich und lässt es zu, die entscheidenden Gedankengänge zu betonen. 3) Leider gibt es bisher keine Übersetzung in der deutschen Wikipedia. 4) Leider kommt es immer wieder vor, dass sich die Bezugsadressen von tiefen Links in Wikipedia verschieben, so dass ein Verweis dann ins "Leere" führt. 5) Der Herleitung hier erlaubt es uns, diese mit weiteren Erläuterungen (insb. Grafiken) zu ergänzen. Verweise und weiterführende Bemerkungen haben wir teilweise entfernt, um den Blick auf das Wesentliche nicht zu verstellen).</WRAP> \\
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