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--- grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:28] – wfeist
+++ grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/12/20 12:11] (aktuell) – wfeist
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 $E_{n_1,n_2,n_3}\left(r\right)=\left(r+\frac{1}{2}\right)\frac{hc}{2L}\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}. $        [P1]
-Die Quantenanzahl $r$ lässt sich als die Zahl der Photonen zu diesem Zustandsmodus interpretieren. Die beiden Moden jedes $n_i$ korrespondieren zu den beiden Polarisationsrichtungen des Photons (die zwei Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Auch für $r= 0$ ist die Energie des Schwingungsmodus nicht Null((Diese "Vakuumenergie" des elektromagnetischen Feldes bewirkt einen Teil des sog Casimir-Effektes.)). Nun berechnen wir zunächst die Innere Energie im Würfel bei der absoluten Temperatur $T$.
+In einem elektromagnetischen Feld ist die Zahl der Photonen in einem erlaubten Energieniveau nicht grundsätzlich nach oben begrenzt, sondern nur durch die gesamte verfügbare Energie. Die Zahl dieser Photonen in der konkreten Schwingungsform (auch Modus genannt, Plural Moden) wird hier mit einer natürlichen Zahl $r$ bezeichnet - sie wird '//die Quantenanzahl//' zu diesem Zustand genannt. Die beiden Moden jedes $n_i$ korrespondieren zu den beiden Polarisationsrichtungen des Photons (die zwei Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Auch für $r= 0$ ist die Energie des Schwingungsmodus nicht Null((Diese "Vakuumenergie" des elektromagnetischen Feldes bewirkt einen Teil des sog Casimir-Effektes.)). Nun berechnen wir zunächst die Innere Energie im Würfel bei der absoluten Temperatur $T$.
 Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gleichgewicht für die Energieniveaus proportional zu: \\
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 ${  \displaystyle P_r =\frac{e^{-\frac{E(r)}{kT}} } {Z(\beta)}   }$
-gegeben. Dabei ist ${\displaystyle \beta := \frac{1}{kT} }.$
+gegeben. Dabei ist ${\displaystyle \beta := \frac{1}{kT} }$ mit der schon bekannten Bolzmann-Konstante $k$.
-mit der schon bekannten Bolzmann-Konstante $k$.
 Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1). \\
-${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .} }$
+${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textstyle{[Z-Summe]} }$
 Wo wir als Abkürzung
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-Beweis des Zusammenhangs für die mittlere Energie:  Die mittlere Energie ist gerade die Summe über alle Energiewerte jeweils multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten
+Beweis des Zusammenhangs für die mittlere Energie:  Die mittlere Energie ist gerade die Summe über alle Energiewerte jeweils multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten\\ \\
-${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle= \frac {\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}{\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}}  }$\\
+${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle= \frac {\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}{\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}}  }$\\ \\
-Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\
+Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\ \\
-${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\
+${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\
-und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.
+und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.\\ \\
+Die Ableitung können wir aber andererseits unmittelbar aus dem expliziten Ergebnis für die Zustandssumme nach [Z-Summe] ausrechnen und erhalten daraus das aufgeführte Ergebnis.
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 ${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/kT}-1}.}$
-das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ f=\frac {c}{\lambda} }$ verwandelt werden, wobei
+das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ \displaystyle { f=\frac {c}{\lambda} }}$ umgewandelt werden, wobei
 ${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$