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--- grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:06] – [Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes] wfeist
+++ grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:43] (aktuell) – wfeist
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 Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1). \\
-${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .} }$
+${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textstyle{[Z-Summe]} }$
 Wo wir als Abkürzung
 $\varepsilon\ := \frac{hc}{2L} \sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}},$
-eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir andernorts erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:\\
+eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir im nächstfolgenden Kasten erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:\\
 ${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}.}$
 Diese Formel (abgesehen vom Vakuumenergie-Term) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bose–Einstein Verteilung.
+<WRAP box lo>
+Beweis des Zusammenhangs für die mittlere Energie:  Die mittlere Energie ist gerade die Summe über alle Energiewerte jeweils multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten\\ \\
+${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle= \frac {\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}{\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}}  }$\\ \\
+Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\ \\
+${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\
+und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.\\ \\
+Die Ableitung können wir aber andererseits unmittelbar aus dem expliziten Ergebnis für die Zustandssumme nach [Z-Summe] ausrechnen und erhalten daraus das aufgeführte Ergebnis.
+</WRAP>
 Relativ zum Grundzustand ergibt sich die Gesamtenergie im Würfel durch die Summe $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ über alle Einzel-Photonenzustände. Im thermodynamischen Grenzwert mit $L$ sehr groß wird $ε$ stetig und wir können dann   $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ integrieren. Dazu müssen wir die Zahl der Photonenzustände zu gegebenen Energiezuständen bestimmen. Wenn wir die Photonenzustände zwischen $ε$ und $ε$ + d$ε$ als $g(ε)dε$ schreiben, wo $g(ε)$ die Dichte der dieser Photonenzustände ist (siehe unten), dann können wir schreiben:\\
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 ${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/kT}-1}.}$
-das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ f=\frac {c}{\lambda} }$ verwandelt werden, wobei
+das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ \displaystyle { f=\frac {c}{\lambda} }}$ umgewandelt werden, wobei
 ${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$