grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes
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An den Wänden muss die Parallelkomponente des elektrischen Feldes und die Normalkomponente des magnetischen Feldes verschwinden. Die Felder sind daher Überlagerungen periodischer Funktionen. Die drei Wellenlängenkomponenten $\lambda_1, \lambda_2,$ und $\lambda_3 $ orthogonal zu den Wänden können also sein: | An den Wänden muss die Parallelkomponente des elektrischen Feldes und die Normalkomponente des magnetischen Feldes verschwinden. Die Felder sind daher Überlagerungen periodischer Funktionen. Die drei Wellenlängenkomponenten $\lambda_1, \lambda_2,$ und $\lambda_3 $ orthogonal zu den Wänden können also sein: | ||
${\displaystyle \lambda_i = \frac{2L}{n_i}, | ${\displaystyle \lambda_i = \frac{2L}{n_i}, | ||
- | wo die $n_i$ positive ganze Zahlen sind. Für jedes $n_i$ gibt es zwei unabhängige Lösungen (Moden der Polarisation). | + | wo die $n_i$ positive ganze Zahlen sind. Für jedes $n_i$ gibt es zwei unabhängige Lösungen (Moden der Polarisation).\\ \\ |
+ | Jetzt gehen wir von der schon erwähnten 'Quantenannahme' aus, danach ist die Energie eines Photons zur Frequenz f gegeben durch | ||
${\displaystyle \varepsilon=hf=\frac{hc}{\lambda}}$ | ${\displaystyle \varepsilon=hf=\frac{hc}{\lambda}}$ | ||
- | sind die Energieniveaus | + | Die möglichen |
$E_{n_1, | $E_{n_1, | ||
- | Die Quantenanzahl $r$ wird interpretiert | + | Die Quantenanzahl $r$ lässt sich als die Zahl der Photonen zu diesem Zustandsmodus |
- | Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gleichgewicht | + | Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gleichgewicht |
${ \displaystyle P_r =\frac{e^{-\frac{E(r)}{kT}} } {Z(\beta)} | ${ \displaystyle P_r =\frac{e^{-\frac{E(r)}{kT}} } {Z(\beta)} | ||
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mit der schon bekannten Bolzmann-Konstante $k$. | mit der schon bekannten Bolzmann-Konstante $k$. | ||
- | Im Nenner steht mit $Z(β)$ die Zustandssumme des betreffenden Modes, die gerade alle $P_r$ in der Summe auf 1 normiert: | + | Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte |
- | ${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .} }$ | + | ${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\; |
Wo wir als Abkürzung | Wo wir als Abkürzung | ||
$\varepsilon\ := \frac{hc}{2L} \sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}, | $\varepsilon\ := \frac{hc}{2L} \sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}, | ||
- | eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir andernorts | + | eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir im nächstfolgenden Kasten |
${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}.}$ | ${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}.}$ | ||
Diese Formel (abgesehen vom Vakuumenergie-Term) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bose–Einstein Verteilung. | Diese Formel (abgesehen vom Vakuumenergie-Term) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bose–Einstein Verteilung. | ||
+ | |||
+ | <WRAP box lo> | ||
+ | Beweis des Zusammenhangs für die mittlere Energie: | ||
+ | ${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle= \frac {\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}{\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}} | ||
+ | Beobachtung: | ||
+ | ${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\ | ||
+ | und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, | ||
+ | Die Ableitung können wir aber andererseits unmittelbar aus dem expliziten Ergebnis für die Zustandssumme nach [Z-Summe] ausrechnen und erhalten daraus das aufgeführte Ergebnis. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
Relativ zum Grundzustand ergibt sich die Gesamtenergie im Würfel durch die Summe $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ über alle Einzel-Photonenzustände. Im thermodynamischen Grenzwert mit $L$ sehr groß wird $ε$ stetig und wir können dann | Relativ zum Grundzustand ergibt sich die Gesamtenergie im Würfel durch die Summe $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ über alle Einzel-Photonenzustände. Im thermodynamischen Grenzwert mit $L$ sehr groß wird $ε$ stetig und wir können dann | ||
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${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/ | ${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/ | ||
- | das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ f=\frac {c}{\lambda} }$ verwandelt | + | das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ \displaystyle |
${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$ | ${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$ | ||
- | (Die Ableitung basiert auf [Brehm/ | + | <WRAP box lo>Die Ableitung basiert auf [Brehm/ |
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