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grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes

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grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:34] – wfeistgrundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:38] – wfeist
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 Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1). \\  Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1). \\ 
    
-${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\;\;\;\;\;\;\;\textstyle{[Z-Summe]} }$+${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textstyle{[Z-Summe]} }$
  
 Wo wir als Abkürzung Wo wir als Abkürzung
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 Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\ \\  Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\ \\ 
 ${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\  ${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\ 
-und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.+und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.\\ \\  
 +Die Ableitung können wir aber andererseits unmittelbar aus dem expliziten Ergebnis für die Zustandssumme nach [Z-Summe] ausrechnen und erhalten daraus das aufgeführte Ergebnis.
  
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grundlagen/herleitung_des_strahlungsgesetzes.txt · Zuletzt geändert: 2024/04/29 18:43 von wfeist