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grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermekapazitaet_idealer_gase

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grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermekapazitaet_idealer_gase [2024/04/27 23:53] – [Die Formulierung für makroskopische Stoffmengen("mol")] wfeistgrundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermekapazitaet_idealer_gase [2024/04/28 15:44] (aktuell) – [Die Formulierung für makroskopische Stoffmengen("mol")] wfeist
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 thermische Energie je Molekül       $\langle E_{mo}\rangle = {E_{mol}} / {N_A}$           wo ${E_{mol}}$ die thermische Energie in einem mol der Substanz ist.\\ \\  thermische Energie je Molekül       $\langle E_{mo}\rangle = {E_{mol}} / {N_A}$           wo ${E_{mol}}$ die thermische Energie in einem mol der Substanz ist.\\ \\ 
  
-Damit können wir nur durch Erweitern((oder Kürzen)) der Formeln in der mikroskopischen Formulierung jeweils die entsprechenden gleichwertigen Formeln in der makroskopischen ("molaren") Formulierung erhalten, z.B. aus Gleichung [Allgemeines gasgesetz I] wird durch die im folgenden ausführlich dargestellte Erweiterung mit $N_A$ :\\ \\ +Damit können wir nur durch Erweitern((oder Kürzen)) der Formeln in der mikroskopischen Formulierung jeweils die entsprechenden gleichwertigen Formeln in der makroskopischen ("molaren") Formulierung erhalten, z.B. aus Gleichung [allgemeines Gasgesetz I] wird durch die im folgenden ausführlich dargestellte Erweiterung mit $N_A$ :\\ \\ 
 $\displaystyle{ p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T = \frac {N}{N_A} \cdot N_A \cdot k_B \cdot T = \nu \cdot R_g T} $     [allgemeines Gasgesetz II]((Es ist, egal ob "I" oder "II", immer das gleiche Gesetz, nur in den jeweils um $N_A$ erweiterten oder gekürzten Variablen ausgedrückt. Merken muss sich der Fachmann nur eine der Formen, denn alle weiteren lassen sich durch Erweitern mit $N_A$ rasch herstellen. Persönlich ziehe ich die Form "I" mit der Teilchenzahl $N$ und der mittleren molekularen thermischen Energie vor, weil das am anschaulichsten ist. Auch, dass $ N / N_A = \nu$ die Stoffmenge ist, eben in Vielfachen von $N_A$, leuchtet unmittelbar ein.)).\\ \\  $\displaystyle{ p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T = \frac {N}{N_A} \cdot N_A \cdot k_B \cdot T = \nu \cdot R_g T} $     [allgemeines Gasgesetz II]((Es ist, egal ob "I" oder "II", immer das gleiche Gesetz, nur in den jeweils um $N_A$ erweiterten oder gekürzten Variablen ausgedrückt. Merken muss sich der Fachmann nur eine der Formen, denn alle weiteren lassen sich durch Erweitern mit $N_A$ rasch herstellen. Persönlich ziehe ich die Form "I" mit der Teilchenzahl $N$ und der mittleren molekularen thermischen Energie vor, weil das am anschaulichsten ist. Auch, dass $ N / N_A = \nu$ die Stoffmenge ist, eben in Vielfachen von $N_A$, leuchtet unmittelbar ein.)).\\ \\ 
 Dabei ist die Mengenvariable rechts jetzt statt der Teilchenzahl $N$ die Stoffmenge $\nu$ (anzugeben in mol) und die neu eingeführte Konstante $R_g$ mit \\ \\  Dabei ist die Mengenvariable rechts jetzt statt der Teilchenzahl $N$ die Stoffmenge $\nu$ (anzugeben in mol) und die neu eingeführte Konstante $R_g$ mit \\ \\ 
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 die //allgemeine Gaskonstante//((oft nur mit $R$ bezeichnet; weil wir aber $R$ hier weiterhin oft für thermische oder elektrische Widerstände benutzen, verwenden wir den Index "g" ('general') um Verwechslungen zu vermeiden)). Weil die Werte sowohl für $k_B$ als auch für $N_A$ festliegen, ergibt sich sogleich der Zahlenwert für diese allgemeine Gaskonstante, nämlich rund 8,31 J/(mol K). Mit der folgenden Erweiterung auch in der Gleichung für die [thermische Energie je Molekül] erkennen wir den Zusammenhang\\ \\  die //allgemeine Gaskonstante//((oft nur mit $R$ bezeichnet; weil wir aber $R$ hier weiterhin oft für thermische oder elektrische Widerstände benutzen, verwenden wir den Index "g" ('general') um Verwechslungen zu vermeiden)). Weil die Werte sowohl für $k_B$ als auch für $N_A$ festliegen, ergibt sich sogleich der Zahlenwert für diese allgemeine Gaskonstante, nämlich rund 8,31 J/(mol K). Mit der folgenden Erweiterung auch in der Gleichung für die [thermische Energie je Molekül] erkennen wir den Zusammenhang\\ \\ 
 $ \langle E_{therm,mol}\rangle= N_A \langle E_{therm}\rangle = f \cdot \frac{1}{2} N_A \cdot k_B T= f \cdot \frac{1}{2} R_g T $         [thermische Energie je mol einer Stoffmenge]\\ \\  $ \langle E_{therm,mol}\rangle= N_A \langle E_{therm}\rangle = f \cdot \frac{1}{2} N_A \cdot k_B T= f \cdot \frac{1}{2} R_g T $         [thermische Energie je mol einer Stoffmenge]\\ \\ 
-Damit wird die Bedeutung von $R_g$ anschaulich klar: Es ist der allgemeine Proportionalitätsfaktor für die Wärmeaufnahmefähigkeit eines mols eines jeden Stoffes, der dann nur noch mit der Zahl der Freiheitsgrade((geteilt durch 2)) der den Stoff aufbauenden mikroskopischen Teilchen multipliziert werden muss. Das Ergebnis wiederum ist die sog. "molare Wärmekapazität((nämlich: je mol)) $C_{mol}$" für das betreffende Material (bei konstant gehaltenem Volumen):\\ \\ +Damit wird die Bedeutung von $R_g$ anschaulich klar: Es ist der allgemeine Proportionalitätsfaktor für die Wärmeaufnahmefähigkeit eines mols eines jeden Stoffes, der dann nur noch mit der Zahl der Freiheitsgrade((geteilt durch 2)) der den Stoff aufbauenden mikroskopischen Teilchen multipliziert werden muss. Das Ergebnis wiederum ist die sog. "molare Wärmekapazität"((nämlich: je mol)) $C_{mol}$ für das betreffende Material (bei konstant gehaltenem Volumen):\\ \\ 
 $C_{mol} = \frac{1}{2} f \cdot R_g$         [molare Wärmekapazität]\\ \\  $C_{mol} = \frac{1}{2} f \cdot R_g$         [molare Wärmekapazität]\\ \\ 
 Dieser Zusammenhang liefert uns auch gleich eine grobe Einschätzung über die generell zu erwartende Werte von spezifischen Wärmekapazitäten. Die Zahl der Freiheitsgrade von Molekülen kann in einem Bereich zwischen 3 und 10 liegen((wobei einige der denkbaren nicht oder nur teilweise 'aktiviert' sind wegen der Quantisierung der niedrigsten Anregungsstufen)). Damit liegen die molaren Wärmekapazitäten zwischen 12,4 und 42 J/(mol K); für //alle// Stoffe, auch für die 'noch nicht synthetisierten'.\\ \\  Dieser Zusammenhang liefert uns auch gleich eine grobe Einschätzung über die generell zu erwartende Werte von spezifischen Wärmekapazitäten. Die Zahl der Freiheitsgrade von Molekülen kann in einem Bereich zwischen 3 und 10 liegen((wobei einige der denkbaren nicht oder nur teilweise 'aktiviert' sind wegen der Quantisierung der niedrigsten Anregungsstufen)). Damit liegen die molaren Wärmekapazitäten zwischen 12,4 und 42 J/(mol K); für //alle// Stoffe, auch für die 'noch nicht synthetisierten'.\\ \\ 
-Wir können noch einen Schritt weiter gehen und die auf die Masse bezogene Wärmekapazität, nämlich die spezifische Wärmekapazität $c_{spec}$ bestimmen: Dazu müssen wir nur die eben ermittelte molare Wärmekapazität durch die Masse eines mols des Stoffes teilen um zu erhalten\\ \\ +Wir können noch einen Schritt weiter gehen und die auf die Masse bezogene Wärmekapazität, nämlich die spezifische Wärmekapazität $c_{spec}$ bestimmen: Dazu müssen wir nur die eben ermittelte molare Wärmekapazität durch die Masse eines mols des Stoffes teilen. Das ergibt\\ \\ 
 $c_{spec}=\frac {C_{mol}}{m_{mol}} = \frac{1}{2} \frac{f}{m_{mol}} \cdot R_g$         [spezifische Wärmekapazität]\\ \\  $c_{spec}=\frac {C_{mol}}{m_{mol}} = \frac{1}{2} \frac{f}{m_{mol}} \cdot R_g$         [spezifische Wärmekapazität]\\ \\ 
-Die spezifischen Wärmekapazitäten ergeben sich somit alle aus der gleichen allgemeinen Gaskonstante $R_g$, diese wird nur mit der Zahl der effektiven Freiheitsgrade multipliziert((dann ist es schon einmal 'molar')) und dann durch die Molmasse((das ist annähernd die Zahl der Nukleonen in dem den Stoff aufbauenden Molekül)) dividiert. Gleichartig aufgebaute Verbindungen mit schwereren Atomen((z.B. $N_2$ statt $H_2$)) haben daher die //**niedrigere**// spezifische Wärmekapazität((Die meisten Menschen 'denken' sich das genau anders herum - die physikalisch konsequente Analyse führt aber, und das sogar ganz einfach, zu diesem Ergebnis; letztlich weil jedes Atom annähernd immer die gleiche thermische Energie aufnimmt - auf die Masse bezogen wird es mit schwereren Atomen daher weniger.)). \\ \\ +Die spezifischen Wärmekapazitäten ergeben sich somit alle aus der gleichen allgemeinen Gaskonstante $R_g$, diese wird nur mit der Zahl der effektiven Freiheitsgrade multipliziert((dann ist es schon einmal 'molar')) und dann durch die Molmasse((das ist annähernd die Zahl der Nukleonen in dem den Stoff aufbauenden Molekül)) dividiert. Gleichartig aufgebaute Verbindungen mit schwereren Atomen((z.B. $N_2$ statt $H_2$)) haben daher die //**niedrigere**// spezifische Wärmekapazität((Die meisten Menschen 'denken' sich das zunächst genau anders herum - die physikalisch konsequente Analyse führt aber, und das sogar ganz einfach, zu diesem Ergebnis; letztlich weil jedes Atom annähernd immer die gleiche thermische Energie aufnimmt - auf die Masse bezogen wird es mit schwereren Atomen daher weniger. Der Hintergrund für die oft zunächst intuitiv fehlgeleitete Einschätzung: Eine größere Menge des gleichen Materials führt selbstverständlich  zu einer entsprechend vergrößerten Wärmekapazität - die Größere Anzahl Moleküle ist mit 'mehr Masse' dieser Materialmenge verbunden; daher zunächst die Erwartung, dass mehr Masse mehr Wärmekapazität bedeutet. Das stimmt aber nicht für die Vergrößerung der Anzahl der Neutronen in den Atomkerne des ansonsten gleichen Moleküls: Dadurch erhöht sich allein die Masse - aber nicht die Aufnahmefähigkeit für thermische Energie durch Stöße mit anderen Molekülen; die letztere bleibt dabei einfach nur gleich, nämlich 1/2 //kT// je Freiheitsgrad und Molekül. )). \\ \\ 
 In Festkörpern beträgt die Zahl der Freiheitsgrade nach einer von Dulong-Petit gefundenen Regel 'normalerweise' rund 6: Drei der kinetischen Energie der Gitterschwingungen und drei der zugehörigen potentiellen Energie, in einem großen Temperaturbereich erweist sich das auch als empirisch ungefähr richtig. Einstein hat diese Regel um den Bereich niedrigerer Temperaturen erweitert; quantenmechanisch angegangen (nach Debye um 1912) können die Werte für Metalle sogar temperaturabhängig relativ genau theoretisch bestimmt werden. \\ \\ \\  In Festkörpern beträgt die Zahl der Freiheitsgrade nach einer von Dulong-Petit gefundenen Regel 'normalerweise' rund 6: Drei der kinetischen Energie der Gitterschwingungen und drei der zugehörigen potentiellen Energie, in einem großen Temperaturbereich erweist sich das auch als empirisch ungefähr richtig. Einstein hat diese Regel um den Bereich niedrigerer Temperaturen erweitert; quantenmechanisch angegangen (nach Debye um 1912) können die Werte für Metalle sogar temperaturabhängig relativ genau theoretisch bestimmt werden. \\ \\ \\ 
  
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