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--- grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermekapazitaet_idealer_gase [2023/11/20 21:56] – wfeist
+++ grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermekapazitaet_idealer_gase [2024/04/28 15:44] (aktuell) – [Die Formulierung für makroskopische Stoffmengen("mol")] wfeist
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 Wir legen unser x,y,z-Koodinatensystem so, dass die Achsen parallel zu den Behälterwänden liegen; die Abmessung des Würfels bezeichnen wir mit $a$, eine Seitenfläche hat daher die Fläche $A=a^2$ und das gesamte Volumen ist $V=a^3$. Für die Moleküle nehmen wir zunächst an, dass sie alle die gleiche Masse $m_{mo}$ haben.
-Wir nehmen erst einmal ein Einzelnes dieser Moleküle her: Es hat eine individuelle Geschwindigkeit $\vec{v}$ mit dem Betrag $v$ und den Komponenten $v_x , v_y$ und $v_z$ in die drei Raumrichtungen. Wenn die x-Geschwindigkeit $v_x$ nicht exakt Null ist ((physikalisch gesehen kommt das praktisch nicht vor)), dann stößt das Molekül irgendwann an die rechte Wand; daran wird es wegen der Elastizität reflektiert und fliegt danach mit der x-Geschwindigkeit $-v_x$ weiter, während die beiden anderen Komponenten unverändert bleiben. Die Impulsänderung für das Molekül ist daher $-2m_{mo}v_x$ und wegen des //Impulserhaltungssatzes// muss das Negative davon an die rechte Wand übertragen werden((weil des ganze Behälter als starr und extrem schwer angenommen worden war, ist die zugehörige Geschwindigkeitsänderung des Behälters nur extrem gering. Im übrigen wird nach Durchfliegen der x-Ausdehnung des Behälters auf der gegenüberliegenden Wand gerade der Impuls $2m_{mo}v_x$ übertragen, der diese langsame Bewegung des Behälters gerade wieder stoppt. Bei einem sehr kleinen Behälter (z.B. ein paar Mikrometer) mit wenig Masse können solche kurzen "Zitterbewegungsphasen" tatsächlich z.B. mit einem Mikroskop beobachtet werden: Das ist eine Form der sog. Brown'schen Bewegung. Ist die Masse $m_{Beh}$ dann bekannt, dann ist dies eine Möglichkeit, die kinetische Energie eines solchen 'kleinen Makroteilchens' zu messen; damit lassen sich dann die weiter unten aus der Theorie hergeleiteten Zusammenhänge überprüfen und, je nach Genauigkeit der Messung, der Wert der Boltzmann-Konstante $k_B$ ermitteln.)). Zwischen diesem Stoß auf die rechte Wand und dem nächsten folgenden des gleichen Moleküls muss dieses zunächst zurück zur linken Wand (Strecke in x-Richtung $a$) fliegen, dort erneut reflektiert werden, und dann nochmal die Streck $a$ zurückfliegen. Die Zeit, die es dafür brauchet, bezeichne wir mit $t_{zzs}$ ("zwischen zwei Stößen"). Dabei wird das Molekül auf Grund seiner y- und z-Geschwindigkeiten möglicherweise "zwischendurch" auch noch an andere Wände stoßen, dabei ändert sich aber die Geschwindigkeit in x-Richtung nicht: Die hat immer den Betrag $v_x$, daher legt das Molekül in der Zeit zwischen zwei Stößen in x-Richtung die Weglänge\\ \\
+Wir nehmen erst einmal ein Einzelnes dieser Moleküle her: Es hat eine individuelle Geschwindigkeit $\vec{v}$ mit dem Betrag $v$ und den Komponenten $v_x , v_y$ und $v_z$ in die drei Raumrichtungen. Wenn die x-Geschwindigkeit $v_x$ nicht exakt Null ist ((physikalisch gesehen kommt das praktisch nicht vor)), dann stößt das Molekül irgendwann an die rechte Wand; daran wird es wegen der Elastizität reflektiert und fliegt danach mit der x-Geschwindigkeit $-v_x$ weiter, während die beiden anderen Komponenten unverändert bleiben. Die Impulsänderung für das Molekül ist daher $-2m_{mo}v_x$ und wegen des //Impulserhaltungssatzes// muss das Negative davon an die rechte Wand übertragen werden((weil des ganze Behälter als starr und extrem schwer angenommen worden war, ist die zugehörige Geschwindigkeitsänderung des Behälters nur extrem gering. Im übrigen wird nach Durchfliegen der x-Ausdehnung des Behälters auf der gegenüberliegenden Wand gerade der Impuls $2m_{mo}v_x$ übertragen, der diese langsame Bewegung des Behälters gerade wieder stoppt. Bei einem sehr kleinen Behälter (z.B. ein paar Mikrometer) mit wenig Masse können solche kurzen "Zitterbewegungsphasen" tatsächlich z.B. mit einem Mikroskop beobachtet werden: Das ist eine Form der sog. Brown'schen Bewegung. Ist die Masse $m_{Beh}$ dann bekannt, dann ist dies eine Möglichkeit, die kinetische Energie eines solchen 'kleinen Makroteilchens' zu messen; damit lassen sich dann die weiter unten aus der Theorie hergeleiteten Zusammenhänge überprüfen und, je nach Genauigkeit der Messung, der Wert der Boltzmann-Konstante $k_B$ ermitteln.)). Zwischen diesem Stoß auf die rechte Wand und dem nächsten folgenden des gleichen Moleküls muss dieses zunächst zurück zur linken Wand (Strecke in x-Richtung $a$) fliegen, dort erneut reflektiert werden, und dann nochmal die Streck $a$ zurückfliegen. Die Zeit, die es dafür braucht, bezeichne wir mit $t_{zzs}$ ("zwischen zwei Stößen"). Dabei wird das Molekül auf Grund seiner y- und z-Geschwindigkeiten möglicherweise "zwischendurch" auch noch an andere Wände stoßen, dabei ändert sich aber die Geschwindigkeit in x-Richtung nicht: Die hat immer den Betrag $v_x$, daher legt das Molekül in der Zeit zwischen zwei Stößen in x-Richtung die Weglänge\\ \\
 $v_x \cdot t_{zzs} = 2 \cdot a$         [Z-Stoßzeit] \\ \\
 zurück und die muss $2 \cdot a$ sein. Nehmen wir nun ein Zeitintervall $\Delta t$ her und fragen uns, wieviele dieser Stöße innerhalb des Zeitintervalls auf die rechte Wand stattfinden, so ergeben sich $\frac{\Delta t}{t_{zzs}}$ Stöße((genau gezählt sind es die größte ganze Zahl kleiner als dieser Wert; weil das aber für Intervalle, die lang genug sind, beliebig genau gleich dem angegeben reellen Wert ist und dieser statistisch gesehen sogar "exakt" ist, bleiben wir bei dieser eventuell gebrochenzahligen 'Stoßzahl'.)). Der insgesamt in der Zeit $\Delta t$ übertragene Impuls ist daher\\ \\
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 thermische Energie je Molekül       $\langle E_{mo}\rangle = {E_{mol}} / {N_A}$           wo ${E_{mol}}$ die thermische Energie in einem mol der Substanz ist.\\ \\
-Damit können wir nur durch Erweitern((oder Kürzen)) der Formeln in der mikroskopischen Formulierung jeweils die entsprechenden gleichwertigen Formeln in der makroskopischen ("molaren") Formulierung erhalten, z.B. aus Gleichung [Allgemeines gasgesetz I] wird durch die im folgenden ausführlich dargestellte Erweiterung mit $N_A$ :\\ \\
+Damit können wir nur durch Erweitern((oder Kürzen)) der Formeln in der mikroskopischen Formulierung jeweils die entsprechenden gleichwertigen Formeln in der makroskopischen ("molaren") Formulierung erhalten, z.B. aus Gleichung [allgemeines Gasgesetz I] wird durch die im folgenden ausführlich dargestellte Erweiterung mit $N_A$ :\\ \\
 $\displaystyle{ p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T = \frac {N}{N_A} \cdot N_A \cdot k_B \cdot T = \nu \cdot R_g T} $     [allgemeines Gasgesetz II]((Es ist, egal ob "I" oder "II", immer das gleiche Gesetz, nur in den jeweils um $N_A$ erweiterten oder gekürzten Variablen ausgedrückt. Merken muss sich der Fachmann nur eine der Formen, denn alle weiteren lassen sich durch Erweitern mit $N_A$ rasch herstellen. Persönlich ziehe ich die Form "I" mit der Teilchenzahl $N$ und der mittleren molekularen thermischen Energie vor, weil das am anschaulichsten ist. Auch, dass $ N / N_A = \nu$ die Stoffmenge ist, eben in Vielfachen von $N_A$, leuchtet unmittelbar ein.)).\\ \\
 Dabei ist die Mengenvariable rechts jetzt statt der Teilchenzahl $N$ die Stoffmenge $\nu$ (anzugeben in mol) und die neu eingeführte Konstante $R_g$ mit \\ \\
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 die //allgemeine Gaskonstante//((oft nur mit $R$ bezeichnet; weil wir aber $R$ hier weiterhin oft für thermische oder elektrische Widerstände benutzen, verwenden wir den Index "g" ('general') um Verwechslungen zu vermeiden)). Weil die Werte sowohl für $k_B$ als auch für $N_A$ festliegen, ergibt sich sogleich der Zahlenwert für diese allgemeine Gaskonstante, nämlich rund 8,31 J/(mol K). Mit der folgenden Erweiterung auch in der Gleichung für die [thermische Energie je Molekül] erkennen wir den Zusammenhang\\ \\
 $ \langle E_{therm,mol}\rangle= N_A \langle E_{therm}\rangle = f \cdot \frac{1}{2} N_A \cdot k_B T= f \cdot \frac{1}{2} R_g T $         [thermische Energie je mol einer Stoffmenge]\\ \\
-Damit wird die Bedeutung von $R_g$ anschaulich klar: Es ist der allgemeine Proportionalitätsfaktor für die Wärmeaufnahmefähigkeit eines mols eines jeden Stoffes, der dann nur noch mit der Zahl der Freiheitsgrade((geteilt durch 2)) der den Stoff aufbauenden mikroskopischen Teilchen multipliziert werden muss. Das Ergebnis wiederum ist die sog. "molare Wärmekapazität((nämlich: je mol)) $C_{mol}$" für das betreffende Material (bei konstant gehaltenem Volumen):\\ \\
+Damit wird die Bedeutung von $R_g$ anschaulich klar: Es ist der allgemeine Proportionalitätsfaktor für die Wärmeaufnahmefähigkeit eines mols eines jeden Stoffes, der dann nur noch mit der Zahl der Freiheitsgrade((geteilt durch 2)) der den Stoff aufbauenden mikroskopischen Teilchen multipliziert werden muss. Das Ergebnis wiederum ist die sog. "molare Wärmekapazität"((nämlich: je mol)) $C_{mol}$ für das betreffende Material (bei konstant gehaltenem Volumen):\\ \\
 $C_{mol} = \frac{1}{2} f \cdot R_g$         [molare Wärmekapazität]\\ \\
 Dieser Zusammenhang liefert uns auch gleich eine grobe Einschätzung über die generell zu erwartende Werte von spezifischen Wärmekapazitäten. Die Zahl der Freiheitsgrade von Molekülen kann in einem Bereich zwischen 3 und 10 liegen((wobei einige der denkbaren nicht oder nur teilweise 'aktiviert' sind wegen der Quantisierung der niedrigsten Anregungsstufen)). Damit liegen die molaren Wärmekapazitäten zwischen 12,4 und 42 J/(mol K); für //alle// Stoffe, auch für die 'noch nicht synthetisierten'.\\ \\
-Wir können noch einen Schritt weiter gehen und die auf die Masse bezogene Wärmekapazität, nämlich die spezifische Wärmekapazität $c_spec$ bestimmen: Dazu müssen wir nur die eben ermittelte molare Wärmekapazität durch die Masse eines mols des Stoffes teilen um zu erhalten\\ \\
+Wir können noch einen Schritt weiter gehen und die auf die Masse bezogene Wärmekapazität, nämlich die spezifische Wärmekapazität $c_{spec}$ bestimmen: Dazu müssen wir nur die eben ermittelte molare Wärmekapazität durch die Masse eines mols des Stoffes teilen. Das ergibt\\ \\
 $c_{spec}=\frac {C_{mol}}{m_{mol}} = \frac{1}{2} \frac{f}{m_{mol}} \cdot R_g$         [spezifische Wärmekapazität]\\ \\
-Die spezifischen Wärmekapazitäten ergeben sich somit alle aus der gleichen allgemeinen Gaskonstante $R_g$, diese wird nur mit der Zahl der effektiven Freiheitsgrade multipliziert((dann ist es schon einmal 'molar')) und dann durch die Molmasse((das ist annähernd die Zahl der Nukleonen in dem den Stoff aufbauenden Molekül)) dividiert. Gleichartig aufgebaute Verbindungen mit schwereren Atomen((z.B. $N_2$ statt $H_2$)) haben daher die //**niedrigere**// spezifische Wärmekapazität((Die meisten Menschen 'denken' sich das genau anders herum - die physikalisch konsequente Analyse führt aber, und das sogar ganz einfach, zu diesem Ergebnis; letztlich weil jedes Atom annähenrd immer die gleiche thermische Energie aufnimmt - auf die Masse bezogen wird es mit schwereren Atomen daher weniger.)). \\ \\
+Die spezifischen Wärmekapazitäten ergeben sich somit alle aus der gleichen allgemeinen Gaskonstante $R_g$, diese wird nur mit der Zahl der effektiven Freiheitsgrade multipliziert((dann ist es schon einmal 'molar')) und dann durch die Molmasse((das ist annähernd die Zahl der Nukleonen in dem den Stoff aufbauenden Molekül)) dividiert. Gleichartig aufgebaute Verbindungen mit schwereren Atomen((z.B. $N_2$ statt $H_2$)) haben daher die //**niedrigere**// spezifische Wärmekapazität((Die meisten Menschen 'denken' sich das zunächst genau anders herum - die physikalisch konsequente Analyse führt aber, und das sogar ganz einfach, zu diesem Ergebnis; letztlich weil jedes Atom annähernd immer die gleiche thermische Energie aufnimmt - auf die Masse bezogen wird es mit schwereren Atomen daher weniger. Der Hintergrund für die oft zunächst intuitiv fehlgeleitete Einschätzung: Eine größere Menge des gleichen Materials führt selbstverständlich  zu einer entsprechend vergrößerten Wärmekapazität - die Größere Anzahl Moleküle ist mit 'mehr Masse' dieser Materialmenge verbunden; daher zunächst die Erwartung, dass mehr Masse mehr Wärmekapazität bedeutet. Das stimmt aber nicht für die Vergrößerung der Anzahl der Neutronen in den Atomkerne des ansonsten gleichen Moleküls: Dadurch erhöht sich allein die Masse - aber nicht die Aufnahmefähigkeit für thermische Energie durch Stöße mit anderen Molekülen; die letztere bleibt dabei einfach nur gleich, nämlich 1/2 //kT// je Freiheitsgrad und Molekül. )). \\ \\
 In Festkörpern beträgt die Zahl der Freiheitsgrade nach einer von Dulong-Petit gefundenen Regel 'normalerweise' rund 6: Drei der kinetischen Energie der Gitterschwingungen und drei der zugehörigen potentiellen Energie, in einem großen Temperaturbereich erweist sich das auch als empirisch ungefähr richtig. Einstein hat diese Regel um den Bereich niedrigerer Temperaturen erweitert; quantenmechanisch angegangen (nach Debye um 1912) können die Werte für Metalle sogar temperaturabhängig relativ genau theoretisch bestimmt werden. \\ \\ \\
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