Die Wärmeleitung durch ein dreidimensionales Bauteil wird durch die Fourier-Gleichung (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) beschrieben:
\begin{align} &\Large{\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial}{\partial x_i} \left( \lambda_i \dfrac{\partial T}{\partial x_i}\right) + \dot q(x,t)=\rho c \dfrac{\partial T}{\partial t}}\\\\ Mit\qquad&\\ T\qquad&\text{die Temperatur}\\ \lambda\qquad&\text{die Wärmeleitfähigkeit der Materialien}\\ c\qquad&\text{die Wärmekapazität der Materialien}\\ \rho\qquad&\text{die Dichten der Materialien}\\ \dot q\qquad&\text{eventuelle Wärmequellen und Senken}\\ \end{align}
Diese partielle Differentialgleichung ist in den meisten Fällen nur mit numerischen Verfahren lösbar. Für einen eindimensionalen, zeitunabhängigen Fall mit konstanten Randbedingungen und ohne Wärmequellen/Senken führt sie jedoch zu einer bereits bekannten Lösung, nämlich dem konstanten Wärmestrom Φ bei ebenen Bauteilen, wie er mit Hilfe des U-Wertes üblicherweise berechnet wird:
$$ \Large{\varPhi= U \cdot A \cdot \Delta \theta} \ $$
Diese Gleichung wird in der Energiebilanzierung zur Erfassung der Wärmeverluste ebener Bauteile eingesetzt. Für die Berechnung von längenbezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten, sprich für zweidimensionale Wärmestromprobleme, bleibt aber in aller Regel kein anderer Weg als die Fourier-Gleichung mit Hilfe von computergestützten Verfahren numerisch zu lösen. Typische Wärmestromprogramme, die für die Anwendung im Bauwesen verwendet werden können, basieren entweder auf der Finite-Element-Methode (FEM) oder auf der Finite-Differenzen-Methode (FDM). Die Vor- und Nachteile dieser Methoden werden in [AkkP 16] diskutiert. Für den Anwender ist jedoch entscheidend, dass die verwendete Software die Anforderungen der DIN EN ISO 10211, Anhang A erfüllt und, unabhängig von der eingesetzten Methode, Wärmeströme und Oberflächentemperaturen mit den geforderten Genauigkeiten berechnen kann. Anzumerken ist, dass nicht jedes Programm instationär, d. h. zeitabhängig, rechnen kann. Für die meisten Anwendungen im Rahmen der Energiebilanzierung ist jedoch eine stationäre Betrachtung ausreichend52). Die am Markt verfügbare Software ist in der Regel durch folgenden Programmaufbau charakterisiert:
Der Präprozessor ist zuständig für die graphische Modellierung und Definition der Randbedingungen. Die eigentliche Berechnung durch FEM oder FDM übernimmt der Rechenkern, die graphische Auswertung und Darstellung erfolgt durch den Postprozessor. Für die Modellierung der betreffenden Details muss der konstruktive Aufbau bekannt sein. Weiter müssen die Materialkennwerte, insbesondere die Wärmeleitfähigkeiten der vorhandenen Werkstoffe, bekannt sein, dafür wird in der Praxis auf die Tabellenwerte der Normen DIN EN ISO 10456 und DIN 4108-4 zurückgegriffen. Die Vorschriften zur Modellierung der Geometrie, Temperaturrandbedingungen sowie Wärmeübergangswiderstände sind in der DIN EN ISO 10211 zu finden. Für Berechnungen von Fenstern ist die Norm DIN EN ISO 10077 zuständig.
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| AkkP 16 | Wärmebrückenfreies Konstruieren ; Protokollband Nr. 16 des Arbeitskreises kostengünstige Passivhäuser, 1. Auflage, Passivhaus Institut, Darmstadt 1999 Link zur Publikationsliste des PHI |