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====== Wärmespeicherung ======

Im Kapitel "Was ist Wärme?" hatten wir herausgearbeitet, dass Wärme eine Energieform ist, die sich als die ungeordnete molekulare Bewegung verstehen lässt. Jedes Molekül, dass eine eigene Bewegungsmöglichkeit hat, beteiligt sich an diesem Konzert von Abermillionen chaotisch fliegender, rotierender und schwingender Systeme. In der Physik sprechen wir für jede potentiell unabhängige Bewegungsmöglichkeit von einem "Freiheitsgrad". Dabei unterscheiden wir

  * Freiheitsgrade der Fortbewegung in die drei Raumrichtungen (3 Freiheitsgrade: x, y, z - Bewegung); in der Physik "Translation" genannt.
  * Freiheitsgrade der Rotation: Das Molekül kann grundsätzlich um drei verschieden orientierte Achsen rotieren((allerdings: Es stellt sich heraus, dass diese Bewegungsform nur für hinreichend unsymmetrische Moleküle aktivierbar ist und dann auch nur um die Achsen, die entsprechend hohe Trägheitsmomente aufweisen. Für diese Einführung reicht es aus, zunächst zu akzeptieren, dass einatomige Moleküle (wie z.B. die Edelgase) keinen Rotationsfreiheitsgrad aufweisen, zweiatomige zwei (die beiden Achsen senkrecht zur Längsachse) und einige nichtlinear angeordnete mehratomige drei.)).
  * Freiheitsgrade der Schwingung: Diese treten immer in Paaren zu zwei auf, nämlich für die Bewegungsenergie der Schwingung und für die elastische Energie. Auch dafür muss es entsprechende Teile des Moleküls geben, die sich gegeneinander bewegen können. Die Physik spricht dabei von "Schwingungsmoden".((In einem einfach aufgebauten Festkörper sind das bezogen auf das einzelne Atom 6 Freiheitsgrade.))

Aus diesen elementaren Bewegungsmöglichkeiten der Moleküle lassen sich die Eigenschaften für die aufnehmbare Wärme(('gespeicherte' Wärme))  molekular verstehen; heute ist das sogar für jede Menge auch komplizierter Fälle mit den Methoden der Quantenmechanik möglich: Das werden wir hier nur von Zeit zu Zeit streifen, denn für das grundlegende Verständnis der Vorgänge reicht die qualitative Beschreibung, die wir hier gegeben haben. Nur den einfachsten Fall, nämlich den der einatomigen Moleküle wollen wir beispielhaft((und zwar klassisch))  behandeln, weil sich daraus die Prinzipien bereits erkennen lassen. Dazu gibt es am Ende dieser Seite einen Einschub [[.:waremespeicherung#einschubtemperaturproportionalitaet_thermischer_energie_ist_aus_dem_molekularen_modell_leicht_einzusehen|"thermische Energie aus dem molekularen Modell erklären"]].

===== Der normale Fall: gespeicherte Wärme proportional zur Temperaturdifferenz =====

Für die meiste Materie und in den meisten Temperaturbereichen ist die in einem thermischen Speicher geladene thermische Energie proportional zur Differenz $\Delta \vartheta=\vartheta_f-\vartheta_0$ der Temperaturen des Speichers "nach dem Aufladen" $\vartheta_f$ minus "vor dem Aufladen" $\vartheta_0$. Die Proportionalitätskonstante nennen wir die Wärmekapazität C des Systems: \\  \\ $E_{therm} = C \cdot \Delta \vartheta $ \\  \\ Messen wir die Wärmemenge in J (Joule) und die Temperatur in Grad Celsius, so ist die Maßeinheit der Wärmekapazität 1 J/K. Wir werden das künftig wegen der Gebräuchlichkeit der kWh für die Messung von Energiemengen in "Wh/K" umrechnen, wobei 1 Wh/K = 3600 Ws/K = 3600 J/K ist. Bei gleichbleibender stofflicher Zusammensetzung ist leicht einzusehen, dass die gesamte Wärmekapazität proportional zur Stoffmenge und damit zur Masse $m$ des Materials ist: \\  \\ $C = m \cdot c_{spec}$ \\  \\ mit der stoffspezifischen Wärmekapazität $c_{spec}$, für welche die Einheit J/(kg K) verwendet wird.

===== Einige Beispiele für spezifische Wärmekapazitäten =====

finden sich in den folgenden Tabellen: Dabei beginnen wir mit den **Gasen**. Um einen Vergleich zu aus dem Alltag bekannten Energieinhalten zu haben, geben wir hier auch die Wärme an, die durch vollständige Verbrennung von 1 kg Heizöl zu gewinnen ist: das sind $h_{Öl}=$ 39500 kJ/kg. Selbst bei einer Erhitzung von 1 kg Wasserstoffgas um 100 °C steckt in der chemischen Verbrennungsenergie eines Liters Heizöl immer noch das über 27fache der im Gas gespeicherten Wärme. \\  \\ Dabei zeigt der Vergleich in der Tabelle für die Gase, dass in der Tendenz mit höheren Molekulargewichten die //niedrigeren//  massenbezogenen spezifischen Wärmekapazitäten einhergehen; das ist kein Zufall und auch nicht verwunderlich, es wird in dem am [[.:waremespeicherung#einschubtemperaturproportionalitaet_thermischer_energie_ist_aus_dem_molekularen_modell_leicht_einzusehen|Ende angefügten Abschnitt]] verständlich. Nun haben Gase unter Normalbedingungen sehr geringe Dichten und daher sind die auf das Volumen bezogenen Wärmekapazitäten (letzte Spalte) sehr gering. Für praktische Zwecke wird man Gase somit als Wärmespeicher kaum einsetzen wollen - auch als Wärmeträgermedium sind sie, wenn überhaupt einsetzbar, an große Volumenströme gebunden. Das hat Auswirkungen bzgl. des Wärmeverlustes durch den Luftaustausch aber auch für den Betrieb von Heiz- oder Kühlanlagen, die das Medium Luft verwenden. Die auf das Volumen bezogenen Wärmekapazitäten liegen für alle Gase in einem Bereich zwischen 0,255 und 0,47 Wh/(m³K); viele sind sogar annähernd gleich diesen beiden Zahlen oder gleich 0,36 Wh/(m³K). Auch das stellt sich als //kein Zufall//  heraus: es erklärt sich ebenfalls aus dem Modell der kinetischen Gastheorie. Wasserstoff ist tatsächlich das Gas mit der höchsten massenbezogenen Wärmekapazität: Das wird in manchen technischen Systemen, in denen die Wärmeübertragung geschaltet werden soll, ausgenutzt. Xenon hingegen - als das molekular schwerste hier gelistete Gas - nimmt pro Molekül etwa die gleiche Wärme auf, pro Masseneinheit aber gerade wegen seines höheren Atomgewichtes nur einen kleinen Bruchteil. Das ist übrigens der Hintergrund, warum zur Vermeidung eines hohen Wärmeverlustes in den Zwischenräumen von Verglasungen gern Edelgase mit hohem Molekulargewicht eingesetzt werden. <WRAP box lo> **Ein Beispiel: Lufterwärmung.** \\ Eine Frischluftvolumen-Erneuerung von 30 m³/Pers und Stunde wird allgemein als notwendig für gute Innenluftqualität angesehen. Für eine Wohnung mit 3 Personen sind daher rund 100 m³ frische Luft pro Stunde ein guter Ansatz. Auch am kältesten Tag (-10°C) wird diese Luft letztlich etwa auf die Raumtemperatur (20°C) erwärmt. Damit lässt sich die erforderliche Energie für eine solche Erwärmung mit den von uns hier eingeführten Zusammenhängen ausrechnen: \\  \\ $E_{therm} = C \cdot \Delta \vartheta = m \cdot c_{spec,Luft} \cdot \Delta \vartheta $ \\  \\ Die Masse der 100 m³ Luft bei 20°C beträgt ziemlich genau 120 kg, die spezifische Wärme ziemlich genau 1 kJ/kg/K. Diese Werte ergeben sich aus der Tabelle für die Gase, wenn man noch weiß, dass Luft zu 78% aus Stickstoff und 21% aus Sauerstoff besteht. Wir können die Werte einsetzen und erhalten \\  \\ $E_{therm} = $ 120 kg $\cdot$ 1 kJ/kg/K $\cdot$ 30 K = 3628 kJ \\  \\ Das ist etwa eine Kilowattstunde((Die hat 1 kWh= 1 kW·3600 s = 3600 kJ.))  an Wärmebedarf für die 100 m³ Luft über einen Zeitraum von einer Stunde. Die erforderliche //Heizleistung//  für den Ersatz der Lüftungswärmeverluste beträgt daher ziemlich genau 1 kW am kältesten Tag. Eine Einordung dazu: Heizanlagen für Wohnungen mit 3 Personen werden heute üblicherweise auf rund 10 kW ausgelegt - das ist das Zehnfache des hier für die Lufterneuerung bestimmten Wertes. Woher kommt dieser große Unterschied? Wie sich herausstellt, sind die Lüftungswärmeverluste in unseren Gebäuden bei weitem nicht die bedeutendsten Verluste; die folgenden Kapitel((nämlich 3 bis 16 im Bauphysik-Kurs))  werden das verständlich machen((die meiste Zeit des Jahres sind die Lüftungswärmeverluste zudem geringer, die jahresdurchschnittliche Leistung beträgt rund 283 Watt)) . Hier können wir uns schon einmal merken: Es ist **//nicht//**  die Lufterwärmung, die den Heizbetrieb so energieaufwändig macht((Wir behandeln die Lüftungswärmeverluste später ausführlicher und werden dann auch noch sehen, dass sich diese durch Wärmerückgewinnung auf ein Fünftel oder sogar ein Zehntel des hier bestimmten Wertes verringern lassen. Wird dann mit einer Wärmepumpe geheizt, ist der Strombedarf nochmals mindestens einen Faktor 3 geringer.)) . </WRAP>

^Gase^Formel^spezif. Wärme- \\ kapazität \\ gemessen $c_p$^Dichte $\rho$ \\ (Normalbed.)^volumenbez. \\ spez. Wärme- \\ kapazität|
| | |kJ/kg/K|kg/m³|Wh/(m³K)|
|Wasserstoff|H<sub>2</sub> |14,385|0,0899|0,359|
|Helium|He|5,193|0,1786|0,258|
|Neon|Ne|1,030|0,9000|0,258|
|Stickstoff|N<sub>2</sub> |1,039|1,2500|0,361|
|Wasser, gasförmig,120°C|H<sub>2</sub> O|1,853|0,5903|0,304|
|Kohlendioxid|CO<sub>2</sub> |0,845|1,9800|0,465|
|Krypton|Kr|0,249|3,7591|0,260|
|Xenon|Xe|0,160|5,8982|0,262|

**Flüssigkeiten**  eignen sich besonders gut für den Aufbau von Wärmespeichern: Sowohl für die schnelle Temperaturanpassung im Speicher((es kann ja einfach umgerührt werden))  als auch für die Be- und Entladung ist das besonders praktisch. Für den Vergleich zu gebräuchlichen Energieinhalten dient uns wieder die vollständige Verbrennung von 1 kg Heizöl, das sind $h_{Öl}=$ 39500 kJ/kg. Selbst im Vergleich zu einer Erhitzung von 1 kg Wasser um 100 °C steckt in der chemischen Verbrennungsenergie eines Liters Heizöl noch die rund 94fache Energie. Das zeigt schon, dass für gleiche Energiemengen chemische Speicher um ein Vielfaches kleiner sind als Wärmespeicher. \\  \\ Die spezifischen Wärmekapazitäten der Flüssigkeiten liegen je Masseneinheit im gleichen Feld wir die der Gase; aber Flüssigkeiten haben unter den Bedingungen auf der Erde eine Mehrtausendfach höhere Dichte. Das ist es, was sie als Wärmespeichermedium überhaupt interessant macht. Es zeigt sich wieder, dass die Flüssigkeiten mit den //niedrigeren//  Molekulargewichten die höheren massebezogenen spezifischen Wärmekapazitäten haben. Ammoniak und Wasser liegen dabei an einsamer Spitze - es sind tatsächlich die praktikabel verwendbaren Materialien mit den absolut höchsten spezifischen Wärmekapazitäten, und das wird bei Raumtemperatur auch so bleiben: Denn Flüssigkeiten mit geringerem Molekulargewicht wird es nicht geben. Auf das Speichervolumen bezogen steht Wasser ganz klar an der Spitze und das gilt sogar dann weiter, wenn die Feststoffe mit in den Vergleich einbezogen werden. Merke: **Wasser ist unüberbietbar das Material mit der höchsten Wärmespeicherfähigkeit für den praktischen Gebrauch.**  Durch Ausnutzen von Phasenübergängen lässt sich noch ein wenig zulegen, das behandeln wir später - diese Art Speicher sind aber deutlich aufwändiger in Bau, Betrieb und Kosten.

==== Ein ganz konkretes Beispiel: Kaffee. Heiß. ====
<WRAP box lo> Für einen Becher Kaffee werden 0,2 Liter Wasser auf 100 °C gebracht. Die Zapftemperatur für das Kaltwasser setzen wir bei 15°C an. Die erforderliche Energie für eine solche Erwärmung wird wieder durch die von uns eingeführten Zusammenhänge ausgerechnet: \\  \\ $E_{therm} = C \cdot \Delta \vartheta = m \cdot c_{spec,H_2O} \cdot \Delta \vartheta $ \\  \\ Die Wassermasse bei 15°C beträgt ziemlich genau 0,2 kg, die spezifische Wärme laut Tabelle 4,187 kJ/kg/K, damit wird \\  \\ $E_{therm} = $ 0,2 kg $\cdot$ 4,187 kJ/kg/K $\cdot$ 85 K = 71,18 kJ \\  \\ Das das sind rund 20 Wh (Wattstunden). Nehmen wir an, dass 3 Personen in einem Haushalt je 5 Tassen davon jeden Tag konsumieren, dann summiert sich das auf 300 Wh in diesem Haushalt am Tag, entsprechend einer mittleren Dauerleistung von 12,5 Watt. Wenn wir die mit Hilfe einer Solaranlage (PV) erzeugen wollen, dann müsste diese etwa 1 m² groß sein, um im Jahresmittel die gleiche Energiemenge zu liefern - dafür wird sicher überall auf dieser Welt Platz sein. Heißes Wasser für Heißgetränke ist also ohne weiteres nachhaltig bereitstellbar. Das ist von hoher praktischer Bedeutung auch für Entwicklungsprojekte - denn, sowohl die elektrischen Heißwasserbereiter als auch PV-Paneele sind einfach und kostengünstig umsetzbar, in den südlicher gelegenen Regionen ohnehin. \\  \\ Etwas anders wird die Sachlage, wenn wir mit Trinkwasser duschen: Im Durchschnitt sind das dann für 3 Personen mit jeweils 33 Liter bei 60°C für den Haushalt, wofür, auch wieder von 15°C aus erwärmt, dann schon 18842 kJ erforderlich sind. Das sind 5,2 kWh am Tag entsprechend einer Dauerleistung von rund 220 Watt. Das würde, sollte das Trinkwarmwasser mit einem elektrischen Heizstab erzeugt werden, rund 18 m² PV-Fläche benötigen((wieder als Mittelwerte über das Jahr)) . Das 'ginge' möglicherweise schon noch, wenn es sich um den einzigen Energiebedarf in dieser Höhe handeln würde((das ist natürlich nicht so)) . Die Lösung lautet hier: Benutze eine Wärmepumpe((Oder (und) einen Sparduschkopf oder (und) eine Warmwasser-Wärme-Rückgewinnung)) ! Damit ist der Strombedarf dann nur noch etwa ein Drittel so hoch - und Platz für 6 m² PV-Fläche für jede Familie wird sich irgendwo finden lassen((Schon an diesem Beispiel wird deutlich, wie Energieeffizienz (Wärmepumpe) und erneuerbare Energie (hier: PV) in idealer Weise zusammenwirken.)) . </WRAP>

Beispiele für Wärmespeicher, die genau für diesen Zweck der Speicherung((d.h. zeitlichen Verlagerung))  gebaut werden, behandeln wir an anderer Stelle noch ausführlich. Dazu ist es hilfreich, auch die Grundlagen bzgl. der Wärmetransport-Mechanismen eingeführt zu haben; dazu dienen die folgenden Kapitel in diesem Grundlagenkurs.

^Flüssigkeiten^Formel^spezif. Wärme- \\ kapazität \\ gemessen $c_p$^Dichte $\rho$ \\ (Normalbed.)^volumenbez. \\ spez. Wärme- \\ kapazität  |
| | |kJ/kg/K|kg/m³|Wh/(m³K)|
|Ammoniak (20°C)|NH<sub>3</sub> |4,635|640|824,0|
|Wasser, bei 20°C|H<sub>2</sub> O|4,187|998|1160,7|
|Ethanol|C<sub>2</sub> H<sub>5</sub> OH|2,428|789|532,4|
|Schwefelsäure|H<sub>2</sub> SO<sub>4</sub> |1,386|1840|708,4|
|Brom|Br|0,266|3120|230,5|
|Quecksilber|Hg|0,139|13546|523,0|

Bei den **Feststoffen**  sind die Atome an feste Positionen im Material gebunden: Ihre Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) beschränken sich dann üblicherweise auf Schwingungen um die jeweiligen Ruhelagen; jeder dieser Schwingungsmodi speichert aber in zwei Energieformen ein, in die kinetische((Der Geschwindigkeit der Zitterbewegung))  und in die potentielle Energie((welche die Grundlage für das Festhalten der Atome an den Ruhelagen darstellt - das kann tatsächlich so vorgestellt werden, wie Federn, welche das Atom schwingungsfähig an diesem Ort halten)) . Wieder dient uns die vollständige Verbrennung von 1 kg Heizöl, das sind $h_{Öl}=$ 39500 kJ/kg, zum Vergleich. Selbst im Vergleich zu einer Erhitzung von 1 kg Aluminium um 300 °C(!!) steckt in der chemischen Verbrennungsenergie eines Liters Heizöl noch die rund 150fache Energie. \\  \\ Die spezifischen Wärmekapazitäten der Feststoffe liegen je Masseneinheit im gleichen Feld wir die der Gase und Flüssigkeiten. Auch sie nehmen mit zunehmendem Molekulargewicht ab. Wegen der starren Struktur der Feststoffe ist es nicht einfach, in große Volumina Wärme schnell ein- oder aus-zuspeichern: Der Festkörper lässt sich ja nicht 'umpumpen'. Teilweise gibt es Versuche in diese Richtung, indem der Feststoff z.B. in eine große Zahl von Kugeln aufgelöst wird. Da die meisten Stoffe auch nicht gerade billig sind((im Vergleich z.B. zu Wasser)) , sind auf Feststoffen basierende technische Speicher weniger verbreitet als jene aus Wasser: Wenn es allerdings auf hohe Temperaturen ankommt, finden z.B. Schamotte-Speicher Anwendung. \\  \\ Meist kommen Feststoffwärmespeicher dadurch ins Spiel, dass die betreffenden Bauteile und Materialien ohnehin aus ganz anderen Gründen eingesetzt werden. Bei einer Decke aus Beton ist das z.B. der Fall. Diese erfüllt vor allem statische Funktionen, aber sie trägt natürlich zu Speicherkapazität des Gebäudes bei. Die wesentliche Wirkung solcher Speicher ist dann, dass sie dämpfend auf Temperaturverläufe wirken. Das werden wir in einem künftigen Kapitel noch genauer darlegen. \\  \\ <WRAP box lo> **Beispiel: Betondecke.** \\ Die Decke mit 30 m² ist 24 cm dick, hat also ein Volumen von 7,2 m³. Mit der Dichte 2000 kg/m³ beträgt die Gesamtmasse dann 14400 kg. So eine Decke kann an einem Sommertag durchaus zwischen 24°(Minium in der Nacht) und 26°C in der Temperatur schwanken. Die dabei ein- und später wieder ausgespeicherte Wärme wird wieder durch die von uns eingeführten Zusammenhänge ausgerechnet: \\  \\ $E_{therm} = C \cdot \Delta \vartheta = m \cdot c_{spec,Beton} \cdot \Delta \vartheta $ \\  \\ Die spezifische Wärme beträgt laut Tabelle 1 kJ/kg/K, damit wird \\  \\ $E_{therm} = $ 14400 kg $\cdot$ 1 kJ/kg/K $\cdot$ 2 K = 28800 kJ \\  \\ Umgerechnet sind das etwa 8 kWh. Diese Energie kann von der Decke vom Tag in die Nacht verlagert werden, wobei es dann in der Nacht leichtere Kühlmöglichkeiten gibt (z.B. durch Durchzug-Lüftung). \\  \\ Das Bespiel zeigt auch, dass eine nennenswerte Verlagerung über eine langen Zeitraum (z.B. vom Sommer in den Winter) kaum möglich ist: Lassen wir ein Auskühlen bis auf 20°C zu, so können 24 kWh aus der Decke einmalig genutzt werden - um den Temperaturrückgang im Herbst zu verzögern. Von den rund 3600 kWh, welche die Heizung eines Raumes mit 30 m² Deckenfläche üblicherweise braucht, sind das weniger als 1%. Was die Decke aber durchaus leistet ist die zeitliche Vergleichmäßigung der Temperaturentwicklung. Auch darauf gehen wir später noch genauer ein. </WRAP>

^Feste Stoffe^Formel^spezif. Wärme- \\ kapazität \\ gemessen $c_p$^Dichte $\rho$ \\ (Normalbed.)^volumenbez. \\ spez. Wärme- \\ kapazität  |
| | |kJ/kg/K|kg/m³|Wh/(m³K)|
|Paraffin|C<sub>n</sub> H<sub>2n+2</sub> |2,094|900|523,5|
|Polystyrol|(C<sub>8</sub> H<sub>8</sub>)<sub>n</sub> |1,200|1000|333,3|
|Magnesium|Mg|1,034|1738|499,2|
|Aluminium|Al|0,897|2700|672,8|
|Kalksandstein||1,000|2000|555,6|
|Asphalt||1,700|1040|491,1|
|Beton||1,000|2400|666,7|
|Vollziegel||0,840|1800|420,0|
|Zement||0,754|3150|659,8|
|Glas|SiO<sub>2</sub> |0,800|2660|591,1|
|Eisen|Fe|0,449|7874|982,1|
|Zink|Zn|0,388|7140|769,5|
|Kupfer|Cu|0,385|8920|953,9|
|Silber|Ag|0,234|10490|681,9|
|Gold|Au|0,130|19320|697,7|
|Blei|Pb|0,131|19320|703,0|

 \\

===== Einschub: Temperaturproportionalität thermischer Energie ist aus dem molekularen Modell leicht einzusehen =====

Einatomige Gase liegen z.B. bei allen Edelgasen vor. Die Moleküle eines solchen Gases haben genau drei Freiheitsgrade: Sie können somit Translations-Bewegungsenergie unabhängig in drei unterschiedliche Raumrichtungen aufnehmen: $E_{kin,x} = \frac{1}{2}m_{mo} v_x^2$ , wo $m_{mo}$ die Molekülmasse und $v_x$ die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung ist; entsprechend für die Bewegungsoptionen in $y$ und $z$ Richtung.\\
\\
In einem eigenen Abschnitt erklären wir anhand der klassischen Vorstellung der chaotischen molekularen Bewegung, wie sich daraus die grundlegenden Gleichungen für ein solches Gas herleiten lassen: [[.:waermekapazitaet_idealer_gase|Die Wärmekapazität bei idealen Gasen]]. Wir halten aus dieser Herleitung ein Ergebnis fest, das den Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie $E_{kin}$ jedes der Moleküle und der Temperatur T des Systems angibt:\\
\\
$E_{kin, Mol}= \frac{3}{2}k_B \cdot T$ .\\
\\
Dabei ist $k_B=1,380649 \cdot 10^{-23}$ J/K die sogenannte Boltzmann-Konstante. Diese stellt die Verbindung der so definierten absoluten Temperatur $T$ mit der durchschnittlichen kinetischen Energie einzelner Moleküle her. Die Größe "Temperatur" wird durch dieses Modell unmittelbar anschaulich illustriert durch die Intensität der chaotischen Molekülbewegung und sogar quantitativ ausgedrückt als eben gerade proportional zur mittleren kinetischen Energie dieser thermischen Bewegung.\\
\\
Wenn unser System aus $N$ solchen Molekülen besteht, so ist die gesamte thermische Energie gerade $N$-mal die mittlere Energie eines einzelnen Moleküls; wir nennen dies die "innere Energie" des Systems und bezeichnen((Wir weichen hier von der in der allg. Thermodynamik eingeführten Bezeichnung "$U$" dafür ab, weil wir in der Bauphysik den Wärmeduchgangskoffizienten mit $U$ bezeichnen)) es hier mit $E$. \\ \\ 
$E = \frac{3}{2}N \cdot k_B \cdot T$ .\\ \\ 
Woher bekommen wir die Zahl der Moleküle? Abzählen ist ja da gar nicht so einfach! Wiegen ist aber möglich: Ist $m$ die Masse des Systems, dann erhalten wir mit der schon eingeführten Atommasse $m_{mo}$ \\ \\ 
$N=\frac{m}{m_{mo}}$      und damit \\ \\ 
$E = \frac{3}{2} \frac{m}{m_{mo}} \cdot k_B \cdot T$ .\\ \\ 
Wir können die Division durch die Molekülmasse ${m_{mo}}$ hier vom $m$ zum $k_B$ verschieben und erhalten dann eine Gleichung der Form\\ \\ 
$E =   m \cdot 3 \cdot \frac{k_B}{2 \cdot m_{mo}} T$ .              \\ \\ 
Darin ist $3 \cdot \frac{k_B}{2 \cdot m_{mo}}$ der Proportionalitätsfaktor zwischen der Temperatur und der Zunahme der thermischen Energie in einer Masseneinheit des Stoffes. Die "3" steht dabei nach wie vor für die Zahl der Freiheitsgrade des Moleküls, die im einatomigen Fall $f$=3 war. Diese Beziehung gilt aber auch für alle anderen Molekülarten (sofern sich die Zahl der Freiheitsgrade $f$ für diese bestimmen lässt). Dieser Faktor zwischen $ m \cdot T$ und der inneren Energie $E$ ist gerade die am Anfang des Kapitels eingeführte spezifische Wärmekapazität $c_{spez}$ des betreffenden Stoffes. Das ist die tatsächliche Zunahme der inneren Energie des Gases, d.h., die Energie, die in der (dabei natürlich konstant gehaltenen) Zahl der Moleküle enthalten ist. Wenn wir die Erwärmung des Gases in der Praxis durchführen, so muss genau diese Energie von außen zugeführt werden - solange das Volumen beim Erwärmungsprozess konstant bleibt; die spezifische Wärmekapazität bekommt für diesen Fall den zusätzliche Index "V", eben für konstant gehaltenes Volumen $c_{spec.V}=c_V$ ; der Index "$_{spec}$" wird dann meist weggelassen, weil mit $c_V$ schon klar ist, dass es sich um die spezifische Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Volumen handelt((In praktischen Anwendungen laufen in der irdischen Atmosphäre die meisten Prozesse aber eher bei konstantem Druck (meist: dem Atmosphärendruck) ab. Dann dehnt sich das Gas mit zunehmender Temperatur aus und muss dabei gegen den umgebenden Druck arbeiten. Diese Arbeit ist gerade noch einmal $R_g \cdot \Delta T$, so dass die Energie entspr. 2 weiterer Freiheitsgrade zusätzlich aufgebracht werden muss. Die spezifische Wärme bei Prozessen mit konstantem Druck, bezeichnet mit $c_p$, ist dann $c_p= \frac{f+2}{2} \cdot \frac {R_g}{m_{mol}}$.  )). Klassisch hängt die spezifische Wärmekapazität nur vom betreffenden Stoff und der Temperatur ab((durch die Regeln der Quantenmechanik entsteht bei niedrigeren Temperaturen oft eine gewisse Abhängigkeit von der Temperatur, weil wegen der dann niedrigen Energieniveaus eigentlich verfügbar Freiheitsgrade praktisch nicht angeregt werden können, diese also, wie 'man sagt' //einfrieren//)).\\ \\ 
$E =   m \cdot c_{spez} \cdot T \;\;\;$       mit   $\; \; \; c_{spez} = f \cdot \frac{k_B}{2 \cdot m_{mo}} $ .              [Wkap]\\ \\  
Diese hier dargestellten Zusammenhänge wurden direkt aus dem einfachen klassischen "Kügelchenmodell" für die atomaren Teilchen gewonnen. Vor dem Hintergrund verwundert es dann nicht mehr, dass die empirische Forschung (auch schon vor dem Bekanntsein dieses Modells) ergeben hatte:
  * Die aufgenommen Wärme in einem materiellen System ist normalerweise zur Temperaturdifferenz proportional (Letzter Faktor in [Wkap]). 
  * Der Proportionalitätsfaktor ist das Produkt aus der Masse $m$ des Systems und der nur von der Art des Materials abhängigen spezifischen Wärmekapazität $c_{spec}$.
  * Die spezifischen Wärmekapazitäten $c_V$ ihrerseits nehmen proportional zur Zahl der Freiheitsgrade der einzelnen Moleküle zu.
  * Und: Bei gleicher Zahl der Freiheitsgrade ergeben sich die spezifischen Wärmekapazitäten aus dem Kehrwert (!) des Verhältnisse der Atommassenzahlen.
Gerade der letzte Punkt folgt zwar klar aus der dargestellten Herleitung, er kollidiert aber eklatant mit der landläufigen Vorstellung, nach der alle Welt 'glaubt', dass schwerere Molekülarten mehr Energie speichern können als leichtere: In Wahrheit ist es vielmehr so, dass je Freiheitsgrad unabhängig von der Art des Moleküls immer gleich viel thermische Energie aufgenommen wird. Weil die schwereren Moleküle aber mehr Masse mit sich herumtragen, ist die (massenbezogene) spezifische Wärme des Stoffes mit den schweren Molekülen sogar im Massenverhältnis geringer als die mit dem leichteren Molekül((Die weitverbreitete Vorstellung, es sei genau andersherum, ist somit einfach nur falsch.)). Wenn ich pro Masseneinheit möglichst viel thermische Energie speichern möchte, dann greife ich am besten auf möglichst //leichte// Molekülarten zurück. Wasserstoff $H_2$ ist daher in den üblichen Temperaturbereichen das Gas mit der //höchsten// massenbezogenen spezifischen Wärme und damit auch künftig durch nichts anderes zu überbieten((da es keine leichteren Molekül gibt)). Weil Wasserstoff in den meisten relevanten Temperaturbereichen allerdings gasförmig ist, sind die Dichten gering und damit die volumenbezogene Wärmekapazität. In dieser Hinsicht sind dann $H_2O$ und $NH_3$ die Flüssigkeiten, welche die absolut höchsten spezifischen Wärmen aller Stoffe aufweisen - und das wird für immer so bleiben, denn da wird es keine neuen stabilen Stoffe mit ausreichender Dichte und sehr niedrigem Molekulargewicht geben. Die besten Wärmespeicher sind bereits gefunden!\\ \\ 

<wrap hide>
Als eine für praktische Zwecke gut geeignete Referenzanzahl von Molekülen ist in Chemie und Physik die Anzahl\\ \\ 
$N_{a} =  $6,02214076·10<sup>23</sup> mol<sup>-1</sup>    ,\\ \\ 
genannt [[https://de.wikipedia.org/wiki/Avogadro-Konstante|Avogadro-Konstante]], eingeführt. Der Wert von $N_{a}$ ist gerade so gewählt, dass $N_{a}$ Moleküle dieser gleichen Art die Masse $m_{Mol}$ gemessen in Gramm haben, wie die Massenzahl des Moleküls angibt. Diese Menge an Molekülen wird mit 1 mol bezeichnet. $m_{Mol}$ nennen wir die "Molmasse" des betreffenden Moleküls. Damit wird dann durch Erweitern mit $N_a$\\ \\ 
$E = \frac{3}{2} \frac{m}{N_a \cdot m_{mo}}\cdot N_a \cdot k_B \cdot T =  \frac{3}{2} \frac{m}{m_{Mol}}\cdot N_a \cdot k_B \cdot T$ .\\ \\ 
Das Produkt $N_a \cdot k_B$ im letzten Ausdruck ist unabhängig von der bestimmten Molekülart: Es ist die sogenannte "allgemeine Gaskonstante", für die das Formelzeichen $R$ eingeführt ist und die sich aus den bereits bekannten Werten für $N_a$ und $k_B$ ergibt:\\ \\ 
$R = N_a \cdot k_B = $6,02214076·10<sup>23</sup> mol<sup>-1</sup> $\cdot$ 1,380649 $\cdot 10^{-23}$ J/K = 8,31446261815324 J/(mol⋅K) ≈ 8,3145 J/(mol⋅K)\\ \\ 
Damit lässt sich die Formel für die innere Energie das Gases auch durch die Masse des Gases ausdrücken:\\ \\ 
$E =   m \cdot 3 \cdot \frac{R}{2 \cdot m_{Mol}} \cdot T$ .\\ \\  
</wrap>

=====Mehr zum molekularen Modell===== 

Auf der folgenden Seite haben wir das molekulare Modell für die Wärmevorgänge genauer erklärt: **[[grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermekapazitaet_idealer_gase|kinetische Gastheorie verstehen]]**.



\\ \\ 
**[[grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermeuebertragung|Weiter zum Thema Wärmetransport]] 🌡️** \\

**[[grundlagen:grundkurs_bauphysik_waerme|Zurück zum Grundkurs Bauphysik Wärme - Übersicht]] 🌡️**