grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermespeicher_anwendung
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- | ======Wärmespeicher Anwendung====== | + | ====== Wärmespeicher Anwendung ====== |
- | Der Anschaulichkeit wegen wollen wir die folgenden Überlegungen anhand eines konkreten Beispiels durchführen((Die Ergebnisse gelten allerdings für beliebige Wärmespeicher, | + | Der Anschaulichkeit wegen wollen wir die folgenden Überlegungen anhand eines konkreten Beispiels durchführen((Die Ergebnisse gelten allerdings für beliebige Wärmespeicher, |
- | Unser Beispiel ist eine handelsübliche Thermoskanne, | + | Unser Beispiel ist eine handelsübliche Thermoskanne, |
- | Auch wenn die Wärmedämmung einer Thermoskanne sehr gut ist, so hat sie dennoch eine gewissen Wärmeverlust: | + | Auch wenn die Wärmedämmung einer Thermoskanne sehr gut ist, so hat sie dennoch eine gewissen Wärmeverlust: |
- | $ P_0=H \cdot (\vartheta_0-\vartheta_e)$\\ \\ | + | \\ |
- | beträgt; für den konkreten Fall sind das 0,027 W/K × (97°C-23, | + | $ P_0=H \cdot (\vartheta_0-\vartheta_e)$\\ |
- | Überlassen wir die Kanne sich selbst in der Umgebung, so wird dieser Wärmeverlust aus dem Wärmeinhalt der Kanne gespeist - der Wärmeinhalt nimmt dadurch etwas ab, und das bedeutet, dass wegen der Proportionalität der Änderung die Wärmeinhalts mit der Temperaturdifferenz die Temperatur | + | \\ |
- | $ P_0 \cdot \Delta t = H \cdot \Delta t \cdot (\vartheta_0-\vartheta_e)$\\ \\ | + | beträgt; für den konkreten Fall sind das 0,027 W/K × (97°C-23, |
- | ab (Im Beispiel sind das 1/60 h × 2,07 W = 0,0336 Wh). Diese Energie stammt aus dem Wärmeinhalt der Kanne, der mit der Wärmekapazität $C$ als $ \Delta Q = C \cdot \Delta \vartheta $ geschrieben werden kann. $\Delta \vartheta $ ist dabei die Veränderung der Temperatur in der Kanne innerhalb der Zeit $\Delta t$. Im Beispiel sind das 0,063 Grad - nach einer Minute ist von der Auskühlung noch nicht viel zu merken. Die Zeit läuft weiter: Jetzt ist der Wärmeverlust um $H$ mal der Temperaturveränderung geringer, im nächsten Zeitintervall $\Delta t$ nimmt der Wärmeinhalt der Kanne daher ein bisschen weniger ab... und das wiederholt sich so lange, wie die Temperatur in der Kanne noch höher ist wie die in der Umgebung. Das ist genau das erwartete Ergebnis: Läuft das Experiment lang genug, dann nimmt die Temperatur in der Kanne immer weiter ab, allerdings auch immer langsamer ab, sie nähert sich mit der Zeit der Temperatur der Umgebung an: Dann ist der Wärmeinhalt der Kanne ' | + | \\ |
- | Wir können das aber auch quantitativ noch weiter präzisieren: | + | Überlassen wir die Kanne sich selbst in der Umgebung, so wird dieser Wärmeverlust aus dem Wärmeinhalt der Kanne gespeist - der Wärmeinhalt nimmt dadurch etwas ab, und das bedeutet, dass wegen der Proportionalität der Änderung die Wärmeinhalts mit der Temperaturdifferenz die Temperatur in der Kanne abfällt. Wir können das sogar jetzt quantitativ auswerten: Lassen wir die kurze Zeitspanne $\Delta t$ (z.B. 1 Minute =1/60 h) vergehen, so nimmt der Wärmeinhalt um\\ |
- | $\displaystyle {C \cdot \frac {\Delta \vartheta}{\Delta t} = \frac {\Delta Q}{\Delta t} = -H \cdot \frac {\Delta t}{\Delta t} \cdot (\vartheta-\vartheta_e)} $\\ \\ | + | \\ |
- | Da die Ableitung der konstanten Umgebungstemperatur nach der Zeit Null ist, führt das für $\Delta t \rightarrow 0$ auf\\ \\ | + | $ P_0 \cdot \Delta t = H \cdot \Delta t \cdot (\vartheta_0-\vartheta_e)$\\ |
- | $\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_e)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-\vartheta_e) }\; . \; | + | \\ |
- | Wir haben hier die Differentialgleichung " | + | ab (Im Beispiel sind das 1/60 h × 2,07 W = 0,0336 Wh). Diese Energie stammt aus dem Wärmeinhalt der Kanne, der mit der Wärmekapazität $C$ als $ \Delta Q = C \cdot \Delta \vartheta $ geschrieben werden kann. $\Delta \vartheta $ ist dabei die Veränderung der Temperatur in der Kanne innerhalb der Zeit $\Delta t$. Im Beispiel sind das 0,063 Grad - nach einer Minute ist von der Auskühlung noch nicht viel zu merken. Die Zeit läuft weiter: Jetzt ist der Wärmeverlust um $H$ mal der Temperaturveränderung geringer, im nächsten Zeitintervall $\Delta t$ nimmt der Wärmeinhalt der Kanne daher ein bisschen weniger ab… und das wiederholt sich so lange, wie die Temperatur in der Kanne noch höher ist wie die in der Umgebung. Das ist genau das erwartete Ergebnis: Läuft das Experiment lang genug, dann nimmt die Temperatur in der Kanne immer weiter ab, allerdings auch immer langsamer ab, sie nähert sich mit der Zeit der Temperatur der Umgebung an: Dann ist der Wärmeinhalt der Kanne ' |
- | Die Lösung dieser Gleichung ist wohlbekannt: | + | \\ |
- | $\displaystyle { (\vartheta-\vartheta_e) = (\vartheta_0-\vartheta_e)\; | + | Wir können das aber auch quantitativ noch weiter präzisieren: |
- | Der Ausdruck $\; {C}/{H} \;$ in diesen Gleichungen hat die Dimension einer Zeit; wir nennen ihn die Zeitkonstante $\tau$ des Systems((in unserem | + | \\ |
- | $\displaystyle { \mathrm{e}^{-\frac {\tau}{\tau} }=\frac {1}{\mathrm{e}} }$ ≈ 36,79% \\ \\ | + | $\displaystyle {C \cdot \frac {\Delta \vartheta}{\Delta t} = \frac {\Delta Q}{\Delta t} = -H \cdot \frac {\Delta t}{\Delta t} \cdot (\vartheta-\vartheta_e)}\; |
- | ab. Dann ist der Kaffee bereits nicht mehr wirklich schön heiß((Bei einer ungedämmten Kanne ist das bereits nach ca. 1 h so weit)). | + | \\ |
+ | Da die Ableitung der konstanten Umgebungstemperatur nach der Zeit Null ist, führt das für $\Delta t \rightarrow 0$ auf\\ | ||
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+ | $\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_e)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-\vartheta_e) }\; . \; | ||
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+ | Wir haben hier die Differentialgleichung " | ||
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+ | Die Lösung dieser Gleichung ist wohlbekannt: | ||
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+ | $\displaystyle { (\vartheta-\vartheta_e) = (\vartheta_0-\vartheta_e)\; | ||
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+ | Der Ausdruck $\; {C}/{H} \;$ in diesen Gleichungen hat die Dimension einer Zeit; wir nennen ihn die Zeitkonstante $\tau$ des Systems((in unserem | ||
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+ | $\displaystyle { \mathrm{e}^{-\frac {\tau}{\tau} }=\frac {1}{\mathrm{e}} }$ ≈ 36,79%\\ | ||
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+ | ab. Dann ist der Kaffee bereits nicht mehr wirklich schön heiß((Bei einer ungedämmten Kanne ist das bereits nach ca. 1 h so weit)) . | ||
- | [{{ : | + | [{{ .: |
- | Die blauen Kreis-Symbole stehen für die gemessenen Werte in der Thermoskanne, | + | |
- | Wir können unser Beispiel durch weitere gebrauchsüblichen Behälter für heißes Wasser ergänzen: Ein gewöhnlicher großer Becher, dieser mit Deckel und Omas " | + | |
- | ^ Größe ^ Einheit ^ Formel | + | \\ |
- | |Masse Wasserfüllung | Gramm g | $m$ | 459| 459| 459| | + | Die blauen Kreis-Symbole stehen für die gemessenen Werte in der Thermoskanne, |
- | |spezifische Wärmekapazität | Wh/(kg K) | $c_p$ | 1,16| 1,16| 1,16| | + | \\ |
- | |Wärmekapazität | Wh/K | $C=c_p \cdot m$ | 0, | + | Wir können unser Beispiel durch weitere gebrauchsübliche Behälter für heißes Wasser ergänzen: (a) Ein gewöhnlicher großer Becher, (b) dieser mit Deckel und Omas " |
- | |Oberfläche | + | \\ |
- | |U-Wert | + | ^ Größe ^ Einheit ^ Formel ^ gewöhnliche\\ Tasse ^ Tasse\\ mit\\ Kaffeemütze ^ Thermoskanne ^ |
- | |Leitwert | W/K | $H = A \cdot U $ | 0, | + | |Masse Wasserfüllung| |
- | |Wärmedurchlass-\\ Widerstand | + | |spezifische Wärmekapazität| |
- | |zugehörige\\ Zeitkonstante | + | |Wärmekapazität| |
+ | |Oberfläche | ||
+ | |U-Wert | ||
+ | |Leitwert| | ||
+ | |Wärmedurchlass- \\ Widerstand | ||
+ | |zugehörige \\ Zeitkonstante | ||
- | Dabei ist $r$ der Radius des zylindrischen Gefäßes und $h$ seine Höhe, $d$ die Dämmdicke der Kaffeemütze. Die spezifische Wärmekapazität des Wassers kennen wir aus den Beispielen im [[: | + | Dabei ist $r$ der Radius des zylindrischen Gefäßes und $h$ seine Höhe, $d$ die Dämmdicke der Kaffeemütze. Die spezifische Wärmekapazität des Wassers kennen wir aus den Beispielen im [[.: |
- | <WRAP box> | + | <WRAP box> |
- | Wie bereits erwähnt, können die hier gefundenen Ergebnisse auf Wärmespeicher aller Größe und Art übertragen werden. Kleine Speicher, wie unsere Thermoskanne, | + | Wie bereits erwähnt, können die hier gefundenen Ergebnisse auf Wärmespeicher aller Größe und Art übertragen werden. Kleine Speicher, wie unsere Thermoskanne, |
- | In der Praxis haben Speicherverluste oft einen dominanten Anteil am " | + | \\ |
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